Parowanie czarnych dziur
Stephen W. Hawking jest bardzo ważną postacią w kwantowej kosmologii. Jego naukowa kariera dobrze go do tego przygotowała. Od początku błyskotliwy umysł Stephena łączył głęboką znajomość metod matematycznych z pasją fizyka. Potrafił szybko opanować wyrafinowane działy nowoczesnej matematyki, ale przede wszystkim chciał wiedzieć, jaki ten świat jest naprawdę. I interesowały go zawsze problemy najważniejsze.
Jego pierwsze prace badawcze dotyczyły zagadnienia osobliwości. Metodę przejął od Rogera Penrose'a, ale szybko ją wyostrzył. Penrose badał osobliwości w procesie kolapsu grawitacyjnego; Hawking za pomocą jego metody zaatakował problem... początku Wszechświata. Jakiś czas Hawking i Penrose pracowali razem, osiągając piękne wyniki, ale potem ich drogi się rozeszły. Penrose poszukiwał całkiem nowych dróg. Jego zdaniem przyszła teoria kwantowej grawitacji będzie się opierać na zupełnie nowej matematyce. Hawking wierzył, że metody już znane i dobrze sprawdzone na terenie fizyki kwantów i fizyki grawitacji dadzą się tak uelastycznić i wzajemnie do siebie dostosować, iż właśnie na tej drodze da się najprędzej i najskuteczniej uzyskać interesujące wyniki. Niewykluczone, że będą to początkowo tylko robocze modele, ale jeżeli zaczną one dobrze pracować, to z pewnością wskażą kierunek dalszych, bardziej radykalnych innowacji.
Pierwszym sukcesem osiągniętym na tej drodze był słynny model parowania czarnych dziur. Klasyczna czarna dziura (czyli bez uwzględniania efektów kwantowych) powstaje wówczas, gdy proces zapadania się obiektu (na przykład masywnej gwiazdy) doprowadza do odizolowania się tego obiektu od 'reszty świata' i powstania 'horyzontu', tzn. do takiej sytuacji, w której nawet promień światła wysłany na zewnątrz zostaje z powrotem zawrócony przez pole grawitacyjne kolapsującego obiektu. Dalszy los tego, co dzieje się pod horyzontem, pozostaje nieznany dla zewnętrznego obserwatora. Hawking udowodnił, że jeżeli uwzględnić efekty kwantowe, to istnieje skończone prawdopodobieństwo, iż jakaś cząstka może znaleźć się na zewnątrz horyzontu. Czarna dziura traci więc masę. Obrazowo mówi się, że czarna dziura paruje.
Model Hawkinga opierał się na metodach przybliżonych (był, jak się mówi, semikwantowy) i oczywiście nigdy dotychczas nie został sprawdzony obserwacyjnie, jednakże specjaliści uznali go za ważne osiągnięcie. Zyskał on sobie niewątpliwie trwałą pozycję w poszukiwaniach właściwej kwantowej teorii grawitacji.
Hawking nie poprzestał na parowaniu czarnych dziur. Jego ambicją było zrozumieć, jak powstał Wszechświat. W ten sposób narodziła się słynna praca Hawkinga i Jima Hartle'ego o kwantowym stwarzaniu wszechświata z niczego.
Czasoprzestrzenne tubyPraca ta ukazała się w 1983 roku i odwagą swojego pomysłu od razu wzbudziła zainteresowanie. W obiegu już było kilka modeli tzw. kwantowego stwarzania świata z nicości, ale zamiar Hartle'ego i Hawkinga był bardziej ambitny: chodziło o trafienie jednym strzałem w dwa cele - wyjaśnienie pochodzenia Wszechświata i stworzenie ogólnej metody, łączącej w sobie istotne elementy fizyki kwantowej i ogólnej teorii względności.
W mechanice kwantowej istnieje bardzo skuteczna metoda rachunkowa, zwana metodą Feynmana całkowania po drogach. Chcąc obliczyć prawdopodobieństwo przejścia układu kwantowego ze stanu A do stanu B, należy rozpatrzyć wszystkie możliwe drogi prowadzące od A do B, wzdłuż tych wszystkich dróg obliczyć pewną całkę, zwaną całką działania, i wszystkie wyniki odpowiednio zsumować.
Wynik sumowania będzie poszukiwanym prawdopodobieństwem. Ujęcie feynmanowskie mechaniki kwantowej jest równoważne podejściu tradycyjnemu (w języku operatorów na przestrzeni Hilberta), ale skuteczniej niż ono daje się przenieść do czasoprzestrzeni szczególnej teorii względności. Stąd też jest ono szeroko stosowane w kwantowej teorii pola, która - jak wiadomo - łączy mechanikę kwantową ze szczególną teorią względności. Hartle i Hawking postanowili powtórzyć ten sukces dla ogólnej teorii względności.
Co jest stanem Wszechświata w ogólnej teorii względności? Wiemy, że jest nim 3-geometria w danej chwili czasu. Przejść więc od jednego stanu do drugiego znaczy skonstruować taką 'tubę czasoprzestrzenną', która łączyłaby 3-geometrię w pewnej chwili z inną 3-geometrią w innej chwili czasu. Żeby to miało sens, musimy przyjąć - i tak też zrobili Hartle i Hawking - że Wszechświat jest przestrzennie zamknięty. Pomóżmy naszej wyobraźni, redukując liczbę wymiarów do dwu.
Odpowiednikiem stanu zamkniętego Wszechświata będzie okrąg. Odpowiednikiem drogi łączącej dwa takie stany - (zniekształcony) walec. Dlatego też na oznaczenie drogi w czasoprzestrzeni użyłem określenia 'tuba czasoprzestrzenna'.
Zgodnie z metodą Feynmana musimy teraz rozpatrzyć wszystkie możliwe tuby łączące dwa stany Wszechświata, obliczyć wzdłuż nich odpowiednie całki i dokonać sumowania. Hartle i Hawking zaproponowali odpowiednie wzory; ich model zaczął 'pracować', co znaczy, że w zasadzie można było wyliczać prawdopodobieństwa przejść Wszechświata pomiędzy różnymi stanami. Piszę 'w zasadzie', ponieważ rachunki są trudne i Hartle wraz z Hawkingiem w swojej pracy przeprowadzili wszystkie obliczenia tylko dla bardzo uproszczonych modeli.
Kwantowe stworzenie Wszechświata
Co to znaczy 'stworzyć świat z nicości'? Na to pytanie można odpowiedzieć w następujący sposób: stworzenie jest to przejście ze stanu, którego nie ma, do jakiegokolwiek innego stanu Wszechświata. Jeżeli prawdopodobieństwo takiego przejścia jest różne od zera, to Wszechświat może powstać z niczego na mocy praw fizyki kwantowej odpowiednio połączonych z zasadami ogólnej teorii względności.
Wiemy już, jak za pomocą metody Hartle'ego i Hawkinga obliczyć prawdopodobieństwo przejścia Wszechświata ze stanu, powiedzmy, X do stanu Y. Ale w jaki sposób pozbyć się stanu X? Od stanu X do stanu Y prowadzą czasoprzestrzenne tuby, zaczynające się w X, a kończące w Y. Gdyby udało się usunąć stan X i wszystkie tuby od tego końca, w którym powinno być X, gładko zasklepić (tak, by wszystkie od tej strony kończyły się półsferą), to stosując rachunkowy przepis Hartle'ego-Hawkinga, można by obliczyć prawdopodobieństwo przejścia Wszechświata od niczego do stanu Y, czyli prawdopodobieństwo wyłonienia się stanu Y z nicości. Mielibyśmy zatem kwantowy model stwarzania świata z nicości.
Ale czy można tak bezkarnie usunąć stan X i pozasklepiać gładko wszystkie tuby od końca, w którym X powinno się znajdować? Okazuje się, że istotną przeszkodą jest czas. Mamy bowiem do czynienia z tubami czasoprzestrzennymi, a czas - mimo że geometrycznie jest traktowany jako czwarty wymiar - posiada jednak inne własności od pozostałych wymiarów przestrzennych. Matematycznie przejawia się to tym, że współrzędna czasowa ma inny znak niż współrzędne przestrzenne, na przykład gdy współrzędne przestrzenne są dodatnie, współrzędna czasowa - ujemna. To sprawia, że tub czasoprzestrzennych nie da się zasklepić gładko: na ich końcach nie powstaje wygładzona półsfera, lecz raczej ostro zakończony stożek (rys. 3a) lub, mówiąc bardziej naukowym językiem, usunięcie stanu X powoduje pojawienie się osobliwości.
I tu znowu doszła do głosu pomysłowość Hartle'ego i Hawkinga. W kwantowej teorii pola fizycy stosują niekiedy rachunkowy trik, polegający na tym, że współrzędną czasową mnoży się przez jednostkę urojoną (czyli przez pierwiastek z minus jeden). Zabieg ten sprawia, że w wielu wzorach (w których współrzędne są podniesione do kwadratu) znika różnica znaku pomiędzy współrzędnymi przestrzennymi i współrzędną czasową. Zabieg ten nazywa się transformacją Wicka. Dzięki niemu można przeprowadzić trudne obliczenia. Aby odczytać końcowy wynik, znowu powraca się do pierwotnej konwencji w zapisie współrzędnych. Hartle i Hawking potraktowali ten prosty trik rachunkowy całkiem serio. Założyli, że w bardzo młodym Wszechświecie transformacja Wicka ma znaczenie fizyczne: znika jakakolwiek różnica pomiędzy przestrzenią i czasem, czasoprzestrzeń staje się zwykłą czterowymiarową przestrzenią. Wówczas tuby można już zasklepić gładko (rys. 3b). Kwantowy model stwarzania funkcjonuje poprawnie.
Jednakże - Hartle i Hawking podkreślają to z naciskiem - takie potraktowanie transformacji Wicka jest dodatkową inwestycją, założeniem nie wynikającym z żadnych fizycznych zasad, uczynionym wyłącznie po to, by model mógł funkcjonować.
A zatem w modelu Hartle'ego-Hawkinga 'na początku' nie było czasu, lecz jedynie czterowymiarowa przestrzeń. Wszechświat nie podlegał więc żadnej ewolucji, po prostu BYŁ. Ale nie był to Wszechświat wieczny, czyli istniejący od minus czasowej nieskończoności. Gdy nie ma czasu, pojęcie minus czasowej nieskończoności nie ma żadnego sensu. Mielibyśmy tu raczej do czynienia z bezczasowym stwarzaniem: dla każdego stanu Wszechświata istnieje skończone prawdopodobieństwo wyłonienia się go z nicości na mocy kwantowo-grawitacyjnych praw. Czas w modelu Hartle'ego-Hawkinga pojawia się jako swoiste złamanie symetrii pomiędzy czterema współrzędnymi przestrzennymi. Gdy jedna z nich otrzymuje odmienny znak od pozostałych i staje się czasem, Wszechświat przekracza próg Plancka, rozpoczynając swoją standardową ewolucję.
Nic dziwnego, że znany bestseller Hawkinga nosi tytuł
Krótka historia czasu. Początek świata jest bezczasowy, ale czas ma swoją historię.
Bez warunków brzegowych i początkowych
Ażeby dobrze określić model kosmologiczny, nie wystarczą tylko prawa fizyki, na podstawie których się go konstruuje. Trzeba ponadto 'zadać' warunki początkowe i brzegowe. Prawa fizyki muszą od czegoś rozpocząć swoje funkcjonowanie. To właśnie określają warunki początkowe. Musi być również wyznaczony zakres działania praw fizyki. I to jest zadaniem warunków brzegowych (należy określić, jak prawa fizyki zachowują się na 'brzegu' rozważanego układu). Zwykle w fizyce warunki początkowe i brzegowe narzuca sama struktura problemu. Jeżeli na przykład badam ruch wyrzuconego kamienia, to warunkami początkowymi są prędkość początkowa i początkowy kierunek, jakie zostały nadane kamieniowi w chwili jego wyrzucenia. Kiedy badam pole grawitacyjne Słońca, to jako warunek brzegowy mogę przyjąć fakt, że w bardzo dużych odległościach od Słońca pochodzące od niego pole grawitacyjne jest zaniedbywalnie słabe. Ale gdy badam Wszechświat, skąd wziąć warunki początkowe i brzegowe? Jakiekolwiek bym przyjął, natychmiast rodzą się pytania: skąd się wzięły? jak je uzasadnić? Warunki początkowe i brzegowe wprowadzają więc do Wszechświata element dowolności, pewnej przygodności modelu, stanowią lukę w wyjaśnieniu wszystkiego do końca.
A gdyby tak pozbyć się warunków początkowych i brzegowych? Problem zostałby rozwiązany radykalnie. Z warunkami brzegowymi sprawa jest prostsza. Zrezygnował z nich już Einstein w swoim pierwszym modelu kosmologicznym z 1917 roku. Właśnie dlatego przyjął, że świat jest przestrzennie zamknięty, ażeby uniknąć kłopotów z warunkami brzegowymi. Jak pamiętamy, model Hartle'ego i Hawkinga jest również przestrzennie zamknięty, a więc ten problem likwiduje się automatycznie.
A co z warunkami początkowymi? Zauważmy, że model Hartle'ego-Hawkinga
de facto nie ma żadnego początku. Dzięki transformacji Wicka w młodym Wszechświecie znika czas, a wraz z nim problemy początku i warunków początkowych.
Ponieważ początek jest także swojego rodzaju brzegiem (czasowym brzegiem modelu), o warunkach początkowych i brzegowych możemy mówić łącznie jako o warunkach brzegowych. Używając tej konwencji, Hartle i Hawking podkreślają, że w ich modelu nie ma żadnego brzegu. 'Jedynym warunkiem brzegowym - jak mówią - jest to, że świat nie ma brzegów'. Daje to - ich zdaniem - pełne wyjaśnienie Wszechświata.
Czy rzeczywiście? Wyjaśnienie zaproponowane przez Hartle'ego i Hawkinga odwołuje się do praw fizyki. Bez przyjęcia, już w punkcie wyjścia, że obowiązują prawa fizyki (w szczególności prawa kwantów i grawitacji), nie byliby oni w stanie uczynić żadnego kroku badawczego, nie mogłoby być mowy o żadnym modelu kwantowej kreacji. Konieczność wyjaśnienia należy więc rozciągnąć także na prawa fizyki. Ale w takim razie natychmiast rodzą się pytania: skąd się one biorą? dlaczego właśnie takie a nie inne? Dociekliwość i duch krytycyzmu nakazują nigdy nie zaprzestawać stawiania pytań, jeżeli jeszcze o coś można zapytać. Problem natury i pochodzenia praw przyrody jest jednym z najdonioślejszych problemów współczesnej filozofii fizyki.
Chociaż więc model Hartle'ego-Hawkinga nie odpowiada na wszystkie pytania (jak sugerują jego niektóre popularne opracowania), jest on wymownym dowodem na to, jak daleko może sięgnąć matematyczna metoda badania świata. Jeszcze stosunkowo niedawno nikt w fizyce (nie w filozoficznych rozważaniach wokół fizyki, lecz w samej fizyce) nie odważyłby się postawić pytania o genezę Wszechświata, a tym bardziej podjąć próby skonstruowania modelu jego narodzin. Specjaliści (ale nie zawsze autorzy książek popularnych) doskonale zdają sobie sprawę z tego, że model Hartle'ego-Hawkinga jest zaledwie pierwszą próbą, 'modelem zabawkowym' (jak powiadają); że jego prowizoryczny sukces opiera się na zbyt wielu, w gruncie rzeczy dowolnych, założeniach. Ale jest to krok w kierunku stawiania coraz ambitniejszych pytań oraz poszukiwania na nie odpowiedzi, i to za pomocą metod, jakimi zwykła posługiwać się fizyka teoretyczna.
Jest to więc krok ukazujący pewną agresywność matematyczno-empirycznej metody badania świata. I to krok zdecydowany. A zdecydowane kroki mają to do siebie, że pociągają za sobą następne. Praca Hartle'ego i Hawkinga stała się inspiracją do dalszych prac badawczych.
Michał Heller
